Probabilités - ST2S/STD2A

Loi de probabilité et variable aléatoire

Exercice 1 : Probabilités - Création d'un tableau à double entrée

Une enquête est réalisée auprès de 7000 familles. Lors de cette enquête, 80.0 % des familles déclarent ne pas posséder de télévision, 75.0 % des familles déclarent ne pas posséder de voiture et 15.0 % possèdent les deux. Remplir le tableau d'effectifs.
{"data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]], "header_left": ["Nombre de familles poss\u00e9dant une voiture", "Nombre de familles ne poss\u00e9dant pas de voiture", "Total"], "header_top": ["Nombre de familles poss\u00e9dant une t\u00e9l\u00e9vision", "Nombre de familles ne poss\u00e9dant pas de t\u00e9l\u00e9vision", "Total"]}

Exercice 2 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
20% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 10% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :
  • 7% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
  • 6% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
  • 1% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :
  • \( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
  • \( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
  • \( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
  • \( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_3) \).
Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi soit défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_2 \) ?
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"F_1": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_2": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_3": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_2 \) et est défectueux »
Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 3 : Loi de probabilités - Tableau à compléter

On étudie un dé truqué suivant la loi de probabilité décrite dans le tableau ci-dessous.
{"header_top": ["Face 1", "Face 2", "Face 3", "Face 4", "Face 5", "Face 6"], "header_left": ["Probabilit\u00e9"], "data": [["a", "5a", "a", "4a", "4a", "\\dfrac{1}{4}"]]}
Calculer la valeur de \(a\).

Exercice 4 : Calcul de probabilités conditionnelles à partir d'un tableau à double entrée

Soit le tableau d'effectifs suivant :
{"header_top": ["\\(A\\)", "\\(\\overline{A}\\)", "Total"], "header_left": ["\\(B\\)", "\\(\\overline{B}\\)", "Total"], "data": [[29, "?", "?"], [18, 22, "?"], ["?", 45, "?"]]}
Calculer la probabilité \(P_{\overline{A}} (B)\).
On donnera le résultat sous la forme d'une fraction.

Exercice 5 : Test d'hypothèse pourcentage de population ayant une maladie

On fait l'hypothèse qu'une maladie touche \( 40 \)% de la population.
Afin de tester cette hypothèse, on évalue le cas de \( 300 \) personnes dans la population et on trouve que \( 13 \)% de ces personnes sont touchées par la maladie.

Doit-on rejeter l'hypothèse que \( 40 \)% de la population est malade, au risque d'erreur de \( 5 \)% ?
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False